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动态规划专题 🎯 ​

动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

🎯 动态规划核心思想 ​

动态规划的核心思想是：将复杂问题分解为更简单的子问题，通过解决子问题来解决原问题。

动态规划的特征 ​

  1. 重叠子问题：子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到
  2. 最优子结构：大问题的最优解可以由小问题的最优解推出
  3. 无后效性：某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响

动态规划解题步骤 ​

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

📚 学习内容 ​

理论基础与总结 ​

基础动态规划 ​

从最简单的动态规划问题开始，建立动态规划的思维模式：

背包问题 ​

背包问题是动态规划的经典应用，也是很多复杂问题的基础：

01背包 ​

完全背包 ​

其他背包 ​

打家劫舍系列 ​

经典的动态规划问题系列，涉及不同的约束条件：

股票问题 ​

股票买卖问题的系列解法，状态机的经典应用：

子序列问题 ​

涉及序列处理的动态规划问题：

编辑距离 ​

字符串编辑问题的动态规划解法：

回文问题 ​

涉及回文字符串的动态规划问题：

💡 动态规划的特点 ​

优点 ​

  • 最优性：能够保证找到最优解
  • 通用性：适用于很多优化问题
  • 系统性：有明确的解题步骤和思路

缺点 ​

  • 空间复杂度：通常需要额外的存储空间
  • 时间复杂度：可能存在冗余计算
  • 理解难度：状态设计和转移方程需要深入思考

🎯 学习建议 ​

  1. 掌握基本概念：深入理解重叠子问题、最优子结构等核心概念
  2. 熟练五步法：按照动态规划五步法系统地分析问题
  3. 多做经典题目：从简单的斐波那契开始，逐步提高难度
  4. 理解状态设计：学会如何合理地设计状态和状态转移
  5. 注意空间优化：在掌握基本解法后，学习如何优化空间复杂度
  6. 分类练习：按照背包、序列、树形DP等分类进行专项练习

记住：动态规划的关键在于正确的状态定义和状态转移方程的推导！ 🚀